Problema: modello matematico e riflessioni in classe

Partendo da un problema semplice si possono far riflettere gli alunni sul modello matematico, sui vincoli, sull’avere soluzioni o meno, sulla geometria applicata a situazioni reali e molto di più.

Il testo del problema:
Date due figure, un trapezio rettangolo ABCD e un triangolo PQR, con lati:
AB=2x-1, BC=x+2, CD=9, DA=x
PR=x, QR=x+6 e PQ= 2AB-9
determinare x in modo tale che Il rapporto tra il perimetro di ABCD e quello di PQR sia 43/42.

Prima di entrare nel vivo del problema, abbiamo ragionato sul trapezio e cercato di capire quanti trapezi potessero godere di quelle proprietà.
La risposta degli studenti: infiniti.
– Infiniti, sì, ma pur con quelle proprietà: un lato fisso (CD=9), uno variabile (DA=x) e gli altri due (AB e BC) dipendenti da “quello” variabile.
Allora, prima di risolvere il problema dato, cerchiamo quello (quel trapezio) che abbia perimetro 100:
Impostiamo la relazione:
perimetro di ABCD=100
AB+ BC+ CD+ DA=100  (traduciamo il perimetro del trapezio come somma dei lati)
2x-1+x+2+9+x=100  (sostituiamo le espressioni dei lati e facciamo i calcoli)
4x-90=0  (forma normale di un’equazione di 1° grado)
4x=90
x=90/4 = 45/2= 22.5   soluzione

– e gli altri lati? AB=44, BC=24.5.
– verifichiamo? 44+24.5+22.5+9= 100!! E’ andato tutto bene, ma sarà sempre così?
– e se il perimetro fosse stato 10?
Impostiamo di nuovo l’equazione:
2x-1+x+2+9+x=10
4x=0

la risposta degli studenti: l’equazione è possibile con soluzione x=0 … ma per x=0 non c’è più il trapezio!
– e se il perimetro fosse stato 6?
4x+10=6
4x=-4
x=-2
Anche qui l’equazione è possibile, ma il valore di x negativo non è accettabile per la lunghezza di un segmento.
– e se il perimetro fosse stato 12?
4x+10=12
4x=2
x=1/2
Qui l’equazione è possibile, il valore di x è positivo, quindi sembra andare tutto bene… ma gli altri lati AB e BC?
BC = x+2 = 1/2+2 = 5/2 … va bene!
AB = 2x-1 = 2(1/2)-1 = 0
Di nuovo un lato di lunghezza nulla. Quindi anche 1/2 non è accettabile come valore da assegnare alla x.

– Allora questa x non può essere qualunque!
– Quali vincoli avrà?
   x>0!  Certo,  ma i lati che dipendono da x?
Anche AB=2x-1 e BC=x+2 devono essere maggiori di 0.

Allora, in modo quasi naturale, si introduce un sistema di disequazioni (vincoli):

x>0
2x-1>0
x+2>0

Gli studenti capiscono che queste tre relazioni devono essere vere contemporaneamente e, illustrato il metodo grafico delle linee,

———————- -2 ———————————-
——————————– 0 —————————–
—————————————————- 1/2 —————–

è immediato dire che il vincolo per x è:
 x>1/2, cioè dove tutte e tre le disequazioni sono vere.

Tornando, quindi ai vari casi visti prima, si capisce perchè la soluzione 22.5 è accettabile mentre le altre non lo sono.

Si riflette ancora:
– l’equazione risolvente, parte del modello matematico del problema, 4x+10= n, dove n rappresenta il valore assegnato al perimetro, potrebbe essere impossibile o indeterminata?
Dopo un po’ di tempo, la risposta degli studenti è no.
– certo NO, perchè il coefficiente del monomio in x nella forma normale è sempre 4, quindi diverso da 0. [un’equazione di 1° grado per essere impossibile o indeterminata deve avere il coefficiente dell’incognita uguale a 0].

Concludendo il modello matematico del problema è dato da un’equazione di 1° grado in x e da un sistema di tre vincoli che ha per soluzione x>1/2:

4x+10= n

x>0
2x-1>0         →  x>1/2
x+2>0

Si potrebbe allora ancora aggiungere qualcosa e generalizzare: perchè non vedere quale valore è possibile dare ad n per avere un problema possibile?
La soluzione dell’equazione è x= (n-10)/4  e tale valore deve essere maggiore di 1/2.
Cioè:     (n-10)/4 > 1/2   →   n-10>2    →   n>12.

Però non abbiamo ancora risolto il problema dato perchè abbiamo ragionato in un sottoproblema: trovare il valore di x in modo tale che il perimetro del trapezio valga un certo numero n.

Prendiamo in considerazione il triangolo di lati
PR=x, QR=x+6 e PQ = 2AB-9 = 2(2x-1) – 9 = 4x -2 -9 = 4x-11

Poichè il problema presenta due figure con un lato congruente (DA=x e PR=x) i vincoli devono essere messi in comune; quindi si avrà:

x>0
2x-1>0        
x+2>0
x+6>0
4x-11>0

——- -6 —————————————————
——————— -2 ——————————————-
——————————– 0 ————————————-
—————————————————- 1/2 ————————-
——————————————————————- 11/4 ————–

e la soluzione è  x>11/4.
Il vincolo per x è quindi x>11/4.

Determiniamo il perimetro del triangolo:
PR+PQ+QP= x+x+6+4x-11 = 6x -5

Impostiamo l’equazione richiesta [rapporto dei perimetri = 42/43]

(4x + 10)/(6x – 5)=42/43

Risolviamo facendo il m.c.m. ed escudendo 5/6 per il campo di esistenza di un’equazione fratta [5/6 è comunque escluso dal vincolo x>11/4].
43·(4x + 10) = 42·(6x – 5)  →   20x = 160    →  x=160/20 = 8

x=8 è  soluzione accettabile perchè rispetta il vincolo x>11/4.

Consideriamo ora le due figure e calcoliamo le lunghezze dei lati:
TRAPEZIO:
AB=2x-1 = 2·8 -1= 15 , BC=x+2 = 8+2= 10, CD=9, DA=8
Perimetro = 4x+10 = 4·8 + 10 = 42
TRIANGOLO:
PR=x = 8, QR=x+6 = 8+6= 14,  PQ = 4x-11 =32-11= 21
Perimetro = 6x-5 = 48 -5 = 43.

Il rapporto dei perimetri è 42/43.

… Far disegnare le due figure ottenute su cartaceo e/o usando un software come GeoGebra (Costruzione di un triangolo noti i tre lati).