Un foglio di carta deve contenere: un’area di stampa di 50 cm2, margini superiore ed inferiore di 4 cm e margini laterali di 2 cm. Quali sono le dimensioni del foglio di carta di area minima che si puo’ utilizzare?
Chiamando x e y le dimensioni del rettangolo esterno, l’area del rettangolo interno sarà data da:
(x – 8)·(y – 4) = 50
x > 8
y > 4
e, ricavando y in funzione di x, si ha:
2·(2·x + 9)
y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x – 8
L’area del rettangolo esterno sarà data da:
area(x, y) ≔ x·y
2·x·(2·x + 9)
area(x) ≔ x·y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x – 8
Questa è la funzione che esprime l’area del foglio che deve essere minima:
2·x·(2·x + 9)
y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
x – 8
Calcolando la derivata prima e ponendola uguale a 0 si ottengono i valori degli eventuali massimi e/o minimi relativi.
Si può osservare che la funzione è razionale fratta del tipo: polinomio di secondo grado fratto polinomio di primo grado e irriducibile.
E’ una funzione standard il cui studio generale si trova nei link a destra.
d 2·x·(2·x + 9)
⎯⎯ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
dx x – 8
2
4·(x – 16·x – 36)
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 0
2
(x – 8)
x = 18 ∨ x = -2
Il valore negativo non è accettabile per il problema proposto.
Nel punto che si ottiene per x=18 si ha un minimo relativo.
L’area minima è 162.
Il valore dell’altra dimensione è 9.
2·18·(2·18 + 9)
y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
18 – 8
y = 162
punto di minimo [18, 162]
Il rettangolo è stato disegnato con GeoGebra; tutto il resto è stato fatto con Derive.
Divertente l’esercizio, e neanche tanto difficile direi.
Mi piacerebbe sapere com’è andato in generale l’esame.
carino, infatti, l’esercizio … non so darti dei dati sui risultati degli esami in generale: dovrebbero uscire presto qui http://archivio.invalsi.it/ones2000/conch2006/pg/risultati-esame.htm
mt
Da Paolo:
mi pare che la tua soluzione vada bene e mi piace molto anche l’aspetto grafico.
Grazie inoltre per le preziose consulenze per la compilazione del verbale!!!