Si chiama trasformazione lineare ogni corrispondenza biunivoca che trasforma rette in rette.
Le leggi generali sono:
⎡ u = a·x + b·y + p ⎤
#1: ⎢ ⎥
⎣ v = c·x + d·y + q ⎦
DEF1:
In una trasformazione si chiama PUNTO UNITO o INVARIANTE un punto che è corrispondente di se stesso.
DEF2:
In una trasformazione si chiama retta unita o invariante una retta che è corrispondente di se stessa; in particolare si dice PUNTUALMENTE INVARIANTE se è anche invariante ogni suo punto; in caso contrario si dice GLOBALMENTE INVARIANTE.
SIMMETRIA CENTRALE DI CENTRO C (©,ß)
Si chiama SIMMETRIA CENTRALE di centro C quella corrispondenza biunivoca di punti del piano che ad ogni punto P del piano associa un punto P’ tale che il segmento PP’ abbia come centro C ( cioè C è il punto medio di PP’ ).
Due punti simmetrici si dicono CORRISPONDENTI NELLA SIMMETRIA centrale.
Per trovare le leggi analitiche di una simmetria centrale si utilizza la definizione:
assegnati due punti P(x, y) e P'(u,v), tenendo conto che C deve essere il punto medio di PP’ si ha:
⎡ x + u ⎤
⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = α ⎥
⎢ 2 ⎥
#2: ⎢ ⎥
⎢ y + v ⎥
⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = β ⎥
⎣ 2 ⎦
Ricavando dalle due equazioni le coordinate di P’ si ha:
⎛⎡ x + u ⎤ ⎞
⎜⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = α ⎥ ⎟
⎜⎢ 2 ⎥ ⎟
#3: SOLVE⎜⎢ ⎥, [u, v]⎟
⎜⎢ y + v ⎥ ⎟
⎜⎢ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = β ⎥ ⎟
⎝⎣ 2 ⎦ ⎠
⎡ u = 2·α – x ⎤
#4: ⎢ ⎥
⎣ v = 2·β – y ⎦
leggi di trasformazione dirette
⎛⎡ u = 2·α – x ⎤ ⎞
#5: SOLVE⎜⎢ ⎥, [x, y]⎟
⎝⎣ v = 2·β – y ⎦ ⎠
⎡ x = 2·α – u ⎤
#6: ⎢ ⎥
⎣ y = 2·β – v ⎦
leggi di trasformazione inverse
Con Derive si può anche creare una funzione che applica le #4 e le #6
DICHIARA-DEFINISCI FUNZIONE-NOME-VARIABILI
#7: SIMC(x, y, α, β) ≔ [2·α – x, 2·β – y]
#8: SIMC1(u, v, α, β) ≔ [2·α – u, 2·β – v]
ESEMPIO:
Sia C (3,2) il centro di simmetria . Dato P(1,-1) trovare il suo simmetrico P’.
1° METODO
Dalle leggi #4, sostituendo i valori di © e ß, si ha:
⎡ u = 2·3 – x ⎤
#9: ⎢ ⎥
⎣ v = 2·2 – y ⎦
⎡ u = 6 – x ⎤
#10: ⎢ ⎥
⎣ v = 4 – y ⎦
Sostituendo a x e y le coordinate di P trovo, con il calcolo, le coordinate di P’
⎡ u = 6 – 1 ⎤
#11: ⎢ ⎥
⎣ v = 4 – -1 ⎦
⎡ u = 5 ⎤
#12: ⎢ ⎥
⎣ v = 5 ⎦
Il punto P’ ha coordinate (5,5).
2° METODO
Si utilizzano le funzioni definite SIMC e SIMC1 in # 7 e #8.
#13: SIMC(1, -1, 3, 2)
#14: [5, 5]
Facciamo ora il grafico.
Con Derive i punti, per essere congiunti nel grafico,devono essere inseriti in una matrice; in questo caso di 3 righe e 2 colonne.
⎡ 3 2 ⎤
⎢ ⎥
#15: ⎢ 1 -1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 5 5 ⎦
PROPRIETA’ DELLE SIMMETRIE CENTRALI
1 – Ogni simmetria centrale scambia tra loro punti corrispondenti.
dim: Si dimosta sia geometricamente, che con le equazioni (scambiando le variabili).
2 – In una simmetria centrale di centro C:
a. il centro è l’unico punto unito
b. ad ogni retta passante per C corrisponde se stessa, cioè è unita ( globalmente invariante ).
3 – La simmetria di centro C
a. scambia ogni semiretta di origine C con la sua opposta
b. scambia tra loro tutti i semipiani opposti aventi come bordo le rette passanti per C.
4 – In una simmetria centrale due rette corrispondenti sono parallele.
5 – TEOREMA
Ogni simmetria centrale è una ISOMETRIA.
Corollario:
· retta retta
· semiretta semiretta
· angolo angolo isometrico
· triangolo triangolo isometrico
· figura figura isometrica
Dimostrazione 2a: Il centro di simmetria è l’unico punto unito.
Applichiamo la trasformazione al punto C (©,ß)
⎡ u = 2·α – x ⎤
#16: ⎢ ⎥
⎣ v = 2·β – y ⎦
⎡ u = 2·α – α ⎤
#17: ⎢ ⎥
⎣ v = 2·β – β ⎦
⎡ u = α ⎤
#18: ⎢ ⎥
⎣ v = β ⎦
Dimostrazione 4: In una simmetria centrale due rette corrispondenti sono parallele.
Consideriamo l’equazione di una retta r ax + by + c = 0 e le trasformazioni inverse; sostituiamo al posto di x e y della retta le leggi di trasformazione.
Otterremo l’equazione di una retta r’ con incognite u e v che avrà lo stesso coefficiente angolare di r: quindi le due rette saranno parallele.
#19: a·x + b·y + c = 0
⎡ x = 2·α – u ⎤
#20: ⎢ ⎥
⎣ y = 2·β – v ⎦
#21: a·(2·α – u) + b·(2·β – v) + c = 0
#22: SOLVE(a·(2·α – u) + b·(2·β – v) + c = 0, [u, v, a, b])
#23: a·u + b·v – 2·a·α – 2·b·β – c = 0
Dimostrazione 2b: Ogni retta passante per C è unita ( globalmente invariante ).
Abbiamo dimostrato nel punto precedente che la retta r viene trasformata in una sua parallela, supponiamo ora che la retta r passi per C.
Per l’appartenenza del punto C alla retta r si ha:
#24: a·α + b·β + c = 0
#25: SOLVE(a·α + b·β + c = 0, [c])
#26: c = – a·α – b·β
Sostituendo ora questa espressione di c (#26) nella #23 otterremo l’equazione della retta in u e v con gli stessi coefficienti di r
( e quindi la stessa retta riportando poi le variabili in x e y ):
#27: a·u + b·v – 2·a·α – 2·b·β – (- a·α – b·β) = 0
#28: SOLVE(a·u + b·v – 2·a·α – 2·b·β – (- a·α – b·β) = 0, [u, v, α, β])
#29: a·u + b·v – a·α – b·β = 0
#30: a·u + b·v + c = 0
#31: a·x + b·y + c = 0
Dimostrazione 5:
Ogni simmetria centrale è una isometria
Si deve dimostrare che due qualsiasi segmenti AB e A’B’ che si corrispondono in una simmetria centrale di centro C sono isometrici.
Consideriamo A(a,b), B(c,d), A'(e,f), B'(g,h) e le leggi di simmetria centrale di centro © e ß (#4 o #7)e dimostriamo che la distanza AB è uguale alla distanza A’B’.
2 2
#32: √((c – a) + (d – b) )
2 2 2 2
#33: √(a – 2·a·c + b – 2·b·d + c + d )
2 2
#34: √((g – e) + (h – f) )
⎡ u = 2·α – x ⎤
#35: ⎢ ⎥
⎣ v = 2·β – y ⎦
2 2
#36: √(((2·α – c) – (2·α – a)) + ((2·β – d) – (2·β – b)) )
2 2 2 2
#37: √(a – 2·a·c + b – 2·b·d + c + d )
Come si vede la #33 e la #37 (cioè AB e A’B’) sono uguali.
q.e.d.
Facciamo ora il grafico di un segmento e del suo corrispondente in una simmetria centrale.
Consideriamo C(3,1), A(1,2), B(2,4) e A’, B’ i corripondenti nella ÞC che troveremo con le leggi di trasformazione, usando #7
#38: SIMC(x, y, α, β) ≔ [2·α – x, 2·β – y]
#39: SIMC(1, 2, 3, 1)
#40: [5, 0]
A’ ha coordinate (5,0)
#41: SIMC(2, 4, 3, 1)
#42: [4, -2]
B’ ha coordinate (4,-2)
Inseriamo ora i punti (5 punti) in una matrice di 7 righe e due colonne per fare il grafico (si devono ripetere le coordinate dei punti da collegare: in questo caso C ed A)
⎡ 1 2 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 2 4 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 3 1 ⎥
⎢ ⎥
#43: ⎢ 5 0 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 4 -2 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 3 1 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 1 2 ⎦
Facciamo ora il grafico di una figura F e della sua corrispondente F’ in una simmetria centrale di centro C(3,2).
Diamo le coordinate dei vertici di F:
A(-4,2), B(-2,5), D(1,5), E(1,-3) e troviamo con SIMC(x,y,©,ß) le coordinate dei punti A’,B’,D’,E’ e poi li mettiamo in matrice per fare il grafico collegando i punti.
#44: SIMC(-4, 2, 3, 2)
#45: [10, 2]
#46: SIMC(-2, 5, 3, 2)
#47: [8, -1]
#48: SIMC(1, 5, 3, 2)
#49: [5, -1]
#50: SIMC(1, -3, 3, 2)
#51: [5, 7]
⎡ -4 2 ⎤
⎢ ⎥
⎢ -2 5 ⎥
⎢ ⎥
#52: ⎢ 1 5 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 1 -3 ⎥
⎢ ⎥
⎣ -4 2 ⎦
⎡ 10 2 ⎤
⎢ ⎥
⎢ 8 -1 ⎥
⎢ ⎥
#53: ⎢ 5 -1 ⎥
⎢ ⎥
⎢ 5 7 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 10 2 ⎦
#54: [[3, 2]]
⎡ -4 2 ⎤
⎢ ⎥
#55: ⎢ 3 2 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 10 2 ⎦
⎡ -2 5 ⎤
⎢ ⎥
#56: ⎢ 3 2 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 8 -1 ⎦
⎡ 1 5 ⎤
⎢ ⎥
#57: ⎢ 3 2 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 5 -1 ⎦
⎡ 1 -3 ⎤
⎢ ⎥
#58: ⎢ 3 2 ⎥
⎢ ⎥
⎣ 5 7 ⎦