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Si definisce simmetria assiale di asse s una trasformazione del piano in sè (una corrispondenza biunivoca) che associa ad ogni punto P un punto P’, tale che il segmento PP’ sia perpendicolare alla retta r e il suo punto medio M stia su s (cioè la retta s è asse del segmento PP’).
Ricaviamo ora le equazioni di alcune simmetrie assiali nel piano cartesiano Oxy
SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE Y di equazione x = 0
Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P’ si avrà:
u = -x
v = y
SIMMETRIA RISPETTO ALL’ASSE X di equazione y = 0
Chiamando ( x, y) le coordinate di P e (u, v) le coordinate di P’ si avrà:
u = x
v = -y
Se consideriamo una relazione nel piano cartesiano di equazione R(x,y) = 0, essa è simmetrica rispetto all’asse x se si ha:
R(x,y) = R(x,-y)
Se la relazione è una funzione di equazione y = f(x), essa NON PU0′ essere simmetrica rispetto all’asse x perchè ad un valore di x corrispondono due valori distinti di y, in contraddizione con la definizione stessa di funzione.
Ci poniamo ora questo problema: assegnata una funzione y = f(x) "costruire" sia algebricamente che graficamente, la funzione y = t(x), simmetrica di f(x) rispetto all’asse y e y = g(x), simmetrica di f(x) rispetto all’asse x.
y = t(x) simmetrica di f(x) rispetto all’asse y
Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all’asse x si deduce che t(x) = f(-x)
y = g(x) simmetrica di f(x) rispetto all’asse x
Dalle definizioni precedenti di simmetria rispetto all’asse x si deduce che g(x) = – f(x)
Si può osservare che il punto di f(x) appartenente anche all’asse di simmetria (asse x) risulta appartenenente anche alla funzione g(x) (punti uniti o invarianti).
OSSERVAZIONI e CONCLUSIONI:
– essere simmetrica rispetto all’asse y (funzione PARI) e, in questo caso, la "sua" simmetrica rispetto all’asse y è "se stessa"
– non essere simmetrica rispetto all’asse y, ma si può trovare un’altra funzione che sia la sua simmetrica rispetto all’asse y
