Alcuni link interessanti per la sezione aurea:
Definizione: si dice sezione aurea del segmento AB, il segmento AC, con C compreso tra A e B, medio proporzionale tra l’intero segmento AB e la parte rimanente CB. http://www.math.it/cabri/sezaurea.htm
SEZIONE AUREA: definizione
A M B | 1-x | x |
http://www.provincia.venezia.it/lartis/log/aurea/def_aurea.htm
La Sezione Aurea
COSTRUZIONE GEOMETRICA
http://www.provincia.venezia.it/lartis/log/aurea/aure_costr.htm
La sezione aurea
http://users.libero.it/petemalu/aurea.html/
http://www.iisalessandrini.it/progetti/3d/partenon/mate.htm
http://www.matematicamente.it/cimolin/formula/formula10.htm
La Sezione Aurea
http://www.magiadeinumeri.it/Sezione_aurea.htm
http://www.liceoberchet.it/ricerche/sezioneaurea/presentaz.htm
http://www.sissa.it/multidisc/gregorio/pacio.html
http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mag_02/Cap3.html
Jacopo de’ Barbari, Ritratto di Fra’ Luca Pacioli, 1495.
Sei stata molto chiara ed esauriente. E, poiche’ era l’argomento in cui mi dibattevo nella completa incertezza, ti venga il mio piu’ pieno ringraziamento.
SORPASSO DELLA SEZIONE AUREA
Di un ignoto sorpasso alla sezione aurea non se trova menzione nei testi scolastici e accademici della matematica: si tratta di una concezione geometrica che procede per via trigonometrica e trova riscontro con l’uso del «righello e compasso». Di questa cosa me ne sono occupato compiutamente ed ho scritto un breve compendio, «L’angolo aureo», insieme ad altri che vi derivano.
In questa sede riporterò le cose salienti a riguardo, rimandando i chiarimenti al testo suddetto che è stato pubblicato nel mio sito «il geometra pensiero in rete», http://www.webalice.it/gbarbella/angolo_aureo.html
«L’ANGOLO AUREO»
INTRODUZIONE.
Dell’angolo aureo, tema di questo breve compendio, se ne fa cenno nel libro di Italo Ghersi, «La matematica dilettevole e curiosa» edizione Hoepli, nel capitolo dedicato alla «quadratura del circolo», ma senza tanti approfondimenti, nel senso che non gli si attribuisce nulla di aureo da accostarlo alla nota «sezione aurea». Si tratta di un preciso angolo le cui funzioni trigonometriche del coseno e tangente danno luogo allo stesso valore che si approssima a quello del «quarto della circonferenza», uno dei diversi itinerari matematici empirici per arrivare allo scopo della ricercata «quadratura del circolo».
Ho definito aureo l’angolo in questione perché farò vedere che deriva dalla nota «sezione aurea» o «media ragione» che gli artisti del Rinascimento tenevano in gran conto per allestire in anteprima il soppalco strutturale delle loro opere.
In matematica, la «sezione aurea» o «media ragione» di un segmento AB, è quella parte AX che è media proporzionale tra l’intero segmento e la rimanente parte XB. In particolare si può definire questa concezione con la seguente espressione di calcolo:
AX : XB = (1+√5) : 2 = 1,618033989…
Se, poi, a 1,618033989… sottraiamo 1, otteniamo il relativo inverso, 0,618033988.
Detto questo, l’angolo aureo ora comincia a delinearsi se consideriamo il suddetto inverso della sezione aurea quale valore del seno relativo:
arcsen 0,618033988 = 38,17270763…°.
A questo punto siamo in grado di costatare che le corrispondenti funzioni trigonometriche del coseno e tangente risultano effettivamente uguali fra loro.
Infatti:
cos 38,17270763…° = 0,786151377…
tang 38,17270763…° = 0,786151377…
Di tutto ciò si può far capo, con l’uso di «righello e compasso», alla tav.01 di copertina per capire graficamente la geometria grazie alla quale si perviene alla configurazione, prima d’altro del segmento della «sezione aurea» e poi ai segmenti del coseno e tangente dell’«angolo aureo», che vi derivano. Questa geometria porta anche alla relazione col pentagramma che sarà argomento di trattazione verso la conclusione.
Sembrerebbe concluso ogni cosa sull’angolo aureo, essendo riusciti a trovare il relativo giusto valore, senza peraltro aver fatto nulla di speciale. Ma resta pur sempre da fare una cosa fondamentale: dimostrare con fatti geometrici a supporto della definizione di auricità, non solo dell’«angolo aureo», ma fare la stessa cosa per la «sezione aurea» che manca di altrettanto sostegno se non quello derivante dalla geometria del segmento.
A tale scopo comincio col mostrare diverse situazioni geometriche relative a particolari intersezioni di coniche per dar luogo alla configurazione dell’«angolo aureo» in discussione, nonché la «sezione aurea».
INTERSEZIONE DI UN CERCHIO CON UNA PARABOLA
Il cerchio e la parabola che si intersecano hanno i seguenti parametri:
1. Parabola canonica: coordinate fuoco (p/2,0); direttrice x = -p/2 .
2. Cerchio: raggio r = p/2; coordinate centro (0,0) coincidente col vertice dell’origine parabola con l’asse X.
3. Se P è il punto d’intersezione della parabola col cerchio, F il fuoco della parabola e Q la proiezione di P sull’asse x, l’angolo QPF è quello ricercato che risulta, dal calcolo, pari a 38,1727076…°.
4. Il calcolo è impostato sulla risoluzione di un sistema di due equazioni, quella della parabola, x²+y² = r² e del cerchio, y² = 2px.
5. La tangente del suddetto angolo di 38,172707076…° dedotto dai suddetti calcoli è 0,78615138…
6. In riferimento all’angolo, di cui la punto 3, che ho chiamato aureo, configurato nel triangolo rettangolo QPF, il lato PF di questi, che collega il punto di intersezione P al fuoco della parabola F, è 0,618033988…, che è anche il numero aureo reciproco, f–1, della serie di Fibonacci, quello della sezione aurea o media ragione!
INTERSEZIONE DI UNA PARABOLA CON UN ELLISSE.
Se l’intersezione di un determinato cerchio con la relativa parabola appropriata, come già visto, porta all’«angolo aureo», altre intersezioni di coniche portano allo stesso scopo. Così può essere facendo intersecare la parabola, prima considerata di coordinate fuoco (p/2,0) e direttrice (x = –p/2), con una ellisse di coordinate centro (0,0), segmenti a = p e b = p/2, per dar luogo, appunto, ad un’ascissa, y = 0,786151138…, che è, poi, il valore della tangente dell’angolo aureo in questione. Da qui la configurazione di un triangolo isoscele regolare il cui semiangolo ai loro vertici è, appunto, quello aureo. La peculiarità di queste figure piane derivanti è di avere i due lati obliqui ortogonali alla parabola su cui insistono. Le loro basi, ovviamente, riguardano l’ordinata derivante dalla suddetta intersezione delle due coniche. Altra peculiarità è l’altezza di queste due figure che è uguale alla p della parabola. Tutto ciò sancisce una legge geometrica a riguardo secondo cui qualsiasi triangolo isoscele, che ha i lati obliqui ortogonali alla parabola su cui poggia, ha l’altezza costante sempre uguale alla p della parabola.
Come già raccomandato, per il seguito ed altro sopra omesso (le illustrazioni), vedasi: «il geometra pensiero in rete», http://www.webalice.it/gbarbella/angolo_aureo.html
Cordiali saluti,
Gaetano Barbella