Problemi e Modello Matematico

Il modello matematico è una rappresentazione del problema in termini di espressioni e simboli matematici.
Si rappresenta il problema con funzioni, equazioni e/o disequazioni in n incognite e vincoli.

I modelli matematici sono utilizzati in Ricerca Operativa , disciplina scientifica abbastanza recente (2a Guerra Mondiale) che può essere definita come:

Nei problemi che stiamo facendo, il modello matematico è rappresentato da un’equazione o da un sistema di equazioni, le cui incognite sono sottoposte a vincoli.
In particolare, se il problema è di tipo geometrico, le incognite rappresentano quasi sempre lunghezze di segmenti che sono sottoposti al vincolo di essere positivi o nulli.

Problema
Assegnato un triangolo rettangolo, si sa che le lunghezze dei cateti differiscono di una unità, mentre l’ipotenusa è maggiore di tre unità rispetto al cateto minore. Calcolare il perimetro del triangolo.

Modello matematico

1a fase – Assegnazione delle incognite
c1 = cateto minore
c2 = cateto maggiore
i = ipotenusa

2a fase – Relazioni tra le incognite
c2-c1 = 1
i = c1+3
una terza relazione è data dal Teorema di Pitagora
c1²+c2² = i²

Si ha un sistema di tre equazioni e tre incognite con i vincoli:
c1>=0, c2>=0, i>=0

3a fase – Soluzione del modello matematico
Si risolve il sistema, sostituendo nella terza equazione
c2= c1+1 e i = c1+3
in modo da avere un’equazione con una sola incognita, che in questo caso è c1.

c1²+(c1+1)²=(c1+3)²

Si sviluppano i calcoli e si trovano le soluzioni di questa equazione di secondo grado nell’incognita c1.

c1² – 4·c1 – 8 = 0

c1 = 2 – 2rad(3)
c1 = 2rad(3) + 2

rad= radice quadrata

3a fase – Controllo dei vincoli
Poichè la prima soluzione è negativa non rispetta il vincolo di non negatività, quindi non è accettabile.

4a fase – Ricerca di tutti gli altri elementi richiesti
Si sostituisce il valore trovato di c1, per avere c2 e i; infine si trova il perimetro:

2p = c1+c2+i =
= (2rad(3) + 2) + (2rad(3) + 2 + 1) + (2rad(3) + 2 + 3)=
= 6rad(3) + 10 u

mtb